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TG EAMCET 4 May 2025 Shift 1 Paper

Question : 72 of 160

Marks: +1, -0

\int x^3 \sin 3x \, dx = \frac{1}{27} \left[ f(x) \cos 3x + g(x) \sin 3x \right] + C

f(l) + g(l) =

Solution:

Let

I = \int x^3 \sin 3x \, dx

I\; = x^3 \int \sin 3x \, dx - \int \left( \; \frac{d}{dx} (x^3) \int \sin 3x \, dx \right) dx

\; = \; \frac{-x^3 \cos 3x}{3} - \int \; \frac{3 x^2 \times (-\cos 3x) dx}{3}

\; = \; \frac{-x^3 \cos 3x}{3} + \int x^2 \cos 3x \, dx + c_1

Let

I_1 = \int x^2 \cos 3x \, dx

\; I_1 = x^2 \int \cos 3x \, dx - \int \left( \; \frac{d}{dx} (x^2) \int \cos 3x \, dx \right) dx

\; I_1 = \; \frac{x^2 \sin 3x}{3} - \int \; \frac{2 x \times \sin 3x}{3} dx + c_2

\; \; \text{ Let } \; I_3 = \int x \sin 3x \, dx

\; \Rightarrow I_3 = x \int \sin 3x \, dx - \int \left( \; \frac{d}{dx}(x) \int \sin 3x \, dx \right) dx

\; \Rightarrow I_3 = \; \frac{-x \cos 3x}{x} - \int \; \frac{-\cos 3x}{3} dx

\; \Rightarrow I_3 = \; \frac{-x \cos 3x}{3} + \; \frac{\sin 3x}{9} + c_3

So,

I = \; \frac{-x^3 \cos 3x}{3} + \; \frac{x^2 \sin 3x}{3}

- \; \frac{2}{3} \left( \; \frac{-x \cos 3x}{3} + \; \frac{\sin 3x}{9} \right) + C

\; \Rightarrow I = \; \frac{1}{27} \left[ -9 x^3 \cos 3x + 9 x^2 \sin 3x + 6 x \cos 3x - 2 \sin 3x \right] + C

\; \Rightarrow \; \; f(x) = 6x - 9x^3

\; \; \; g(x) = 9x^2 - 2

\; \Rightarrow \; \; f(1) = -3, \; \; g(1) = 7

\; \Rightarrow f(1) + g(1) = 4

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