|z1+z2|2=|z1|2+|z2|2 given ...(i) Let z1=x+iy,z2=a+ib. Then
z1
z2
=
x+iy
a+ib
=
x+iy
a+ib
×
a−ib
a−ib
z1
z2
=
(ax+yb)+i(ay−xb)
a2+b2
...(ii) From Eq. (i), we get LHS=|z1+z2|2=|x+a+i(y+b)|2 =(x+a)2+(y+b)2 =x2+a2+2ax+y2+b2+2by RHS=|x+iy|2+|a+ib|2=x2+y2+a2+b2 ⇒2(ax+by)=0⇒ax+by=0 Putax+by=0inEq.(ii)