Let Z1 = cos A + i sin A , Z2 = cos 2A + i sin 2A and Z3 = cos 4A + i sin 4A Then Z1,Z2,Z3 = cos (A + 2A + 4A) ∴ Z1,Z2,Z3 = cos 7A = cos 2π + i sin 2π = 1 → (cos A + i sin A) (cos 2A + i sin 2A) (cos 4A + i sin 4A) = 1 → cos A , cos 2A , cos 4A (1 + i tan A) (1 + i tan 2A) = 1 Let C = cos
2π
7
. cos
4π
7
. cos
8π
7
= cos A cos 2A cos 4A and S = sin
2π
7
. sin
4π
7
. sin
8π
7
. Then 8 C . S = sin
4π
7
. sin
16π
7
But sin
16π
7
= sin (2π+
2π
7
) ∴ (1 + i tan A) ( 1 + i tan 2A) (1 + i tan 4A) = 8. Simplify ans. – 7