We have, sinx + sin3x + sin5x = 0
⇒ (sin 5x + sinx) + sin 3x = 0.
⇒ 2 sin (

5x+x

2

) cos (

5x−x

2

) + sin 3x = 0
⇒ 2sin 3x cos 2x + sin 3x = 0 ⇒ sin 3x (2 cos 2x + 1) = 0
⇒ either sin 3x = 0 or, 2 cos 2x + 1 = 0
Now , if sin 3x = 0 ⇒ 3x = nπ, n ∈ Z
⇒ x =

nπ

3

, n ∊ Z
And if 2 cos 2x + 1 = 0 ⇒ cos2x = −

1

2

A value of x, satisfying cosx =

1

2

is

π

3

Thus, cos 2x = cos (π−

π

3

) = - cos

π

3

= −

1

2

⇒ cos 2x = cos

2π

3

⇒ 2x = 2nπ ±

2π

3

, n ∊ Z
Since if cos x = cos α then , x - 2nπ ± α , n ∊ Z
⇒ x = nπ ±

π

3

, n ∊ Z
Hence x =

nπ

3

or nπ ±

π

3

, n ∊ Z