Given, (−‌15C1+2⋅‌15C2−3⋅‌15C3+...−15⋅‌15C15) ‌‌+(‌14C1+‌14C3+‌14C5+...+‌14C11) Let S1=−‌15C1+2⋅‌15C2−3⋅‌15C3+...−15⋅‌15C15 ‌‌=
15
∑
r=1
(−1)r⋅r⋅‌15Cr=15‌
15
∑
r=1
(−1)r‌14Cr−1 ‌‌=15(−‌14C0+‌14C1−‌14C2+...−‌14C14) ‌‌=15(0)=0 S2=‌14C1+‌14C3+‌14C5+...+‌14C11 ‌‌=(‌14C1+‌14C3+...+‌14C13)−‌14C13 ‌‌=213−14 Now, the required value is (−‌15C1‌+2⋅‌15C2−3⋅‌15C3+...−15⋅‌15C15) ‌+(‌14C1+‌14C3+...+‌14C11) ‌‌=S1+S2=0+2‌13−14=213−14